设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,a包含于R 1、求f(x)的单调区间; 2、讨论f(x)的极值

设函数f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1,a包含于R
1、求f(x)的单调区间;
f(x+Δx)-f(x)
=2(x+Δx)^3-3(a-1)(x+Δx)²+1-(2x^3-3(a-1)x²+1)
=2x^3+6x²Δx+6x(Δx)²+2(Δx)^3-3(a-1)(x²+2xΔx+(Δx)²)+1-2x^3+3(a-1)x²+1
=6x²Δx+6x(Δx)²+2(Δx)^3-3(a-1)(2xΔx+(Δx)²)
=6x²Δx+6x(Δx)²+2(Δx)^3-6(a-1)xΔx-3(a-1)(Δx)²
=Δx(6x²-6(a-1-Δx)x+2(Δx)²-3(a-1)(Δx))

当Δx接近于0时，上式若要大于0，只需考虑

6x²-6(a-1)x>0
即x(x-(a-1)>0

当a=1时，f(x)在(－∞，＋∞）上递增

当a>1时，f(x)在(0,a-1)上递减，在(－∞,0)∪（a-1，＋∞）上递增

当a<1时，f(x)在(a-1,0)上递减，在(－∞,a-1)∪（0，＋∞）上递增

2、讨论f(x)的极值

同样极值点也分三种情况

a=1,没有极值点

f(0)=1,f(a-1)=2(a-1)^3-3(a-1)^3+1=-(a-1)^3+1

所以当a>1时，函数的极小值为f(a-1)=-(a-1)^3+1,极大值为f(0)=1

当a<1时，函数的极小值为f(0)=1,极大值为f(a-1)=-(a-1)^3+1